MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeIdentități algebrice
Demonstrați identitatea: ∣z1+z2+z3∣2+∣−z1+z2+z3∣2+∣z1−z2+z3∣2+∣z1+z2−z3∣2=4(∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2)|z_1 + z_2 + z_3|^2 + |-z_1 + z_2 + z_3|^2 + |z_1 - z_2 + z_3|^2 + |z_1 + z_2 - z_3|^2 = 4(|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Amintim proprietatea pentru numere complexe: ∣z∣2=z⋅z‾|z|^2 = z \cdot \overline{z}, unde z‾\overline{z} este conjugatul lui zz.
21 punct
Definim sumele: S1=z1+z2+z3S_1 = z_1 + z_2 + z_3, S2=−z1+z2+z3S_2 = -z_1 + z_2 + z_3, S3=z1−z2+z3S_3 = z_1 - z_2 + z_3, S4=z1+z2−z3S_4 = z_1 + z_2 - z_3.
33 puncte
Calculăm fiecare termen:
  • ∣S1∣2=(z1+z2+z3)(z1‾+z2‾+z3‾)=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+z1z2‾+z1z3‾+z2z1‾+z2z3‾+z3z1‾+z3z2‾|S_1|^2 = (z_1 + z_2 + z_3)(\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + z_1 \overline{z_2} + z_1 \overline{z_3} + z_2 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_3} + z_3 \overline{z_1} + z_3 \overline{z_2}.
  • ∣S2∣2=(−z1+z2+z3)(−z1‾+z2‾+z3‾)=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2−z1z2‾−z1z3‾−z2z1‾+z2z3‾−z3z1‾+z3z2‾|S_2|^2 = (-z_1 + z_2 + z_3)(-\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 - z_1 \overline{z_2} - z_1 \overline{z_3} - z_2 \overline{z_1} + z_2 \overline{z_3} - z_3 \overline{z_1} + z_3 \overline{z_2}.
  • ∣S3∣2=(z1−z2+z3)(z1‾−z2‾+z3‾)=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2−z1z2‾+z1z3‾−z2z1‾−z2z3‾+z3z1‾−z3z2‾|S_3|^2 = (z_1 - z_2 + z_3)(\overline{z_1} - \overline{z_2} + \overline{z_3}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 - z_1 \overline{z_2} + z_1 \overline{z_3} - z_2 \overline{z_1} - z_2 \overline{z_3} + z_3 \overline{z_1} - z_3 \overline{z_2}.
  • ∣S4∣2=(z1+z2−z3)(z1‾+z2‾−z3‾)=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+z1z2‾−z1z3‾+z2z1‾−z2z3‾−z3z1‾−z3z2‾|S_4|^2 = (z_1 + z_2 - z_3)(\overline{z_1} + \overline{z_2} - \overline{z_3}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + z_1 \overline{z_2} - z_1 \overline{z_3} + z_2 \overline{z_1} - z_2 \overline{z_3} - z_3 \overline{z_1} - z_3 \overline{z_2}.
44 puncte
Sumăm toți termenii: ∣S1∣2+∣S2∣2+∣S3∣2+∣S4∣2=4∣z1∣2+4∣z2∣2+4∣z3∣2+0|S_1|^2 + |S_2|^2 + |S_3|^2 + |S_4|^2 = 4|z_1|^2 + 4|z_2|^2 + 4|z_3|^2 + 0 (toți termenii de tip zizj‾z_i \overline{z_j} se anulează). Astfel, obținem 4(∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2)4(|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.