MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Rezolvați în C\mathbb{C} ecuația z2=3−iz^2 = 3 - i.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fie z=x+iyz = x + iy cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}. Atunci z2=(x+iy)2=x2−y2+2ixyz^2 = (x+iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy.
24 puncte
Echivalăm cu 3−i3 - i: x2−y2=3x^2 - y^2 = 3 și 2xy=−12xy = -1.
33 puncte
Din 2xy=−12xy = -1, avem y=−12xy = -\frac{1}{2x}. Înlocuim în prima ecuație: x2−(−12x)2=3⇒x2−14x2=3x^2 - \left(-\frac{1}{2x}\right)^2 = 3 \Rightarrow x^2 - \frac{1}{4x^2} = 3. Multiplicăm cu 4x24x^2: 4x4−1=12x2⇒4x4−12x2−1=04x^4 - 1 = 12x^2 \Rightarrow 4x^4 - 12x^2 - 1 = 0. Notăm t=x2t = x^2: 4t2−12t−1=04t^2 - 12t - 1 = 0. Rezolvăm: t=12±144+168=12±1608=12±4108=3±102t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 16}}{8} = \frac{12 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{12 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{3 \pm \sqrt{10}}{2}. Deoarece t=x2≥0t = x^2 \ge 0, ambele soluții sunt pozitive. Apoi găsim y=−12xy = -\frac{1}{2x} pentru fiecare xx corespunzător, obținând două soluții complexe conjugate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.