MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Găsiți toate numerele complexe z=x+yiz = x + yi, cu x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}, astfel încât z3=2+11iz^3 = 2 + 11i.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem z=x+yiz = x + yi și calculăm z3=(x+yi)3=x3+3x2yi−3xy2−y3i=(x3−3xy2)+(3x2y−y3)iz^3 = (x+yi)^3 = x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - y^3i = (x^3 - 3xy^2) + (3x^2y - y^3)i.
22 puncte
Echivalăm cu 2+11i2 + 11i și obținem sistemul: x3−3xy2=2x^3 - 3xy^2 = 2 și 3x2y−y3=113x^2y - y^3 = 11.
34 puncte
Rezolvăm sistemul pentru x,y∈Zx, y \in \mathbb{Z}. Din a doua ecuație, y(3x2−y2)=11y(3x^2 - y^2) = 11. Factorii întregi ai lui 11 sunt ±1,±11\pm1, \pm11. Testăm fiecare caz: pentru y=1y=1, 3x2−1=11⇒x2=4⇒x=±23x^2 -1 = 11 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm2. Verificăm în prima ecuație: dacă x=2,y=1x=2, y=1, x3−3xy2=8−6=2x^3 -3xy^2 = 8 -6=2, iar pentru x=−2,y=1x=-2, y=1, x3−3xy2=−8+6=−2≠2x^3 -3xy^2 = -8 +6=-2 \neq 2. Pentru y=−1y=-1, 3x2−1=−113x^2 -1 = -11, fără soluții întregi. Pentru y=11y=11, 3x2−121=11⇒x2=443x^2 -121 = 11 \Rightarrow x^2 = 44, nu întreg. Similar pentru y=−11y=-11.
42 puncte
Singura soluție întreagă este x=2,y=1x=2, y=1, deci z=2+iz = 2 + i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.