MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie z1z_1, z2z_2, z3z_3 numere complexe astfel încât z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0 și ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=1|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1. Demonstrați că z12+z22+z32=0z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm că ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=1|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1 implică z1ˉ=1z1\bar{z_1} = \frac{1}{z_1}, z2ˉ=1z2\bar{z_2} = \frac{1}{z_2}, z3ˉ=1z3\bar{z_3} = \frac{1}{z_3} deoarece pentru orice număr complex zz, ∣z∣=1|z| = 1 implică zzˉ=1z \bar{z} = 1.
22 puncte
Din z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, luăm conjugata: z1ˉ+z2ˉ+z3ˉ=0\bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} = 0.
32 puncte
Înlocuim ziˉ\bar{z_i} cu 1zi\frac{1}{z_i} și obținem 1z1+1z2+1z3=0\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = 0.
42 puncte
Aducem la numitor comun: z2z3+z3z1+z1z2z1z2z3=0\frac{z_2 z_3 + z_3 z_1 + z_1 z_2}{z_1 z_2 z_3} = 0. Deoarece z1z2z3≠0z_1 z_2 z_3 \neq 0 (modulul fiecăruia este 1, deci nu sunt zero), rezultă z2z3+z3z1+z1z2=0z_2 z_3 + z_3 z_1 + z_1 z_2 = 0.
52 puncte
Calculăm (z1+z2+z3)2=z12+z22+z32+2(z1z2+z2z3+z3z1)(z_1 + z_2 + z_3)^2 = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2(z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1). Din z1+z2+z3=0z_1 + z_2 + z_3 = 0, avem (z1+z2+z3)2=0(z_1 + z_2 + z_3)^2 = 0, iar din pasul anterior z1z2+z2z3+z3z1=0z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = 0. Prin urmare, 0=z12+z22+z32+00 = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 0, deci z12+z22+z32=0z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.