MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Găsiți numerele reale x și y astfel încât (4−3i)x2+(3+2i)xy=4y2−12x2+(3xy−2y2)i(4-3i)x^2 + (3+2i)xy = 4y^2 - \frac{1}{2}x^2 + (3xy - 2y^2)i.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scrie ecuația și se separă partea reală și partea imaginară. Partea reală: 4x2+3xy=4y2−12x24x^2 + 3xy = 4y^2 - \frac{1}{2}x^2. Partea imaginară: −3x2+2xy=3xy−2y2-3x^2 + 2xy = 3xy - 2y^2.
23 puncte
Se simplifică ecuațiile. Din partea imaginară: −3x2+2xy−3xy+2y2=0-3x^2 + 2xy - 3xy + 2y^2 = 0 → −3x2−xy+2y2=0-3x^2 - xy + 2y^2 = 0 → 3x2+xy−2y2=03x^2 + xy - 2y^2 = 0. Din partea reală, înmulțind cu 2: 8x2+6xy=8y2−x28x^2 + 6xy = 8y^2 - x^2 → 9x2+6xy−8y2=09x^2 + 6xy - 8y^2 = 0.
32 puncte
Se rezolvă sistemul. Considerăm cazul y≠0y \neq 0 și notăm t=x/yt = x/y. Din prima ecuație: 3t2+t−2=03t^2 + t - 2 = 0 cu soluțiile t=23t = \frac{2}{3} sau t=−1t = -1. Se verifică în a doua ecuație: pentru t=23t = \frac{2}{3}, 9(49)+6(23)−8=09(\frac{4}{9}) + 6(\frac{2}{3}) - 8 = 0, iar pentru t=−1t = -1, 9(1)+6(−1)−8=−5≠09(1) + 6(-1) - 8 = -5 \neq 0. Deci x=23yx = \frac{2}{3}y. Pentru y=0y = 0, din ecuații rezultă x=0x=0.
42 puncte
Soluțiile sunt: (x,y)=(0,0)(x,y) = (0,0) sau x=23yx = \frac{2}{3}y pentru orice y∈Ry \in \mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.