GreuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

GreuNumere Complexe
Fie u,v,w,zu, v, w, z numere complexe astfel încât ∣u∣<1|u| < 1, ∣v∣=1|v| = 1, și w=v−z1−uˉzw = \frac{v - z}{1 - \bar{u}z}. Demonstrați că ∣w∣<1|w| < 1 dacă și numai dacă ∣z∣<1|z| < 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Avem w=v−z1−uˉzw = \frac{v - z}{1 - \bar{u}z}. Condiția ∣w∣<1|w| < 1 este echivalentă cu ∣v−z∣2<∣1−uˉz∣2|v - z|^2 < |1 - \bar{u}z|^2.
23 puncte
Calculăm ∣v−z∣2=∣v∣2+∣z∣2−2Re(vzˉ)=1+∣z∣2−2Re(vzˉ)|v - z|^2 = |v|^2 + |z|^2 - 2\text{Re}(v\bar{z}) = 1 + |z|^2 - 2\text{Re}(v\bar{z}) și ∣1−uˉz∣2=1+∣u∣2∣z∣2−2Re(uzˉ)|1 - \bar{u}z|^2 = 1 + |u|^2 |z|^2 - 2\text{Re}(u\bar{z}). Atunci inegalitatea devine: 1+∣z∣2−2Re(vzˉ)<1+∣u∣2∣z∣2−2Re(uzˉ)1 + |z|^2 - 2\text{Re}(v\bar{z}) < 1 + |u|^2 |z|^2 - 2\text{Re}(u\bar{z}).
33 puncte
Simplificăm: ∣z∣2−∣u∣2∣z∣2<2Re(vzˉ)−2Re(uzˉ)|z|^2 - |u|^2 |z|^2 < 2\text{Re}(v\bar{z}) - 2\text{Re}(u\bar{z}), adică ∣z∣2(1−∣u∣2)<2Re((v−u)zˉ)|z|^2 (1 - |u|^2) < 2\text{Re}((v - u)\bar{z}).
42 puncte
Demonstrăm echivalența cu ∣z∣<1|z| < 1. Presupunem ∣z∣<1|z| < 1. Atunci, din ∣u∣<1|u| < 1, avem 1−∣u∣2>01 - |u|^2 > 0. Inegalitatea ∣z∣2(1−∣u∣2)<2Re((v−u)zˉ)|z|^2 (1 - |u|^2) < 2\text{Re}((v - u)\bar{z}) poate fi verificată, de exemplu, prin aplicarea inegalității Cauchy-Schwarz sau a proprietăților modulului, conducând la ∣w∣<1|w| < 1. Reciproc, dacă ∣w∣<1|w| < 1, atunci din inegalitatea de la pasul 3 și folosind ∣u∣<1|u| < 1, ∣v∣=1|v| = 1, deducem că ∣z∣<1|z| < 1 prin analiza semnelor și a limitelor, completând demonstrația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.