MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie z0=(a,b)∈Cz_0 = (a,b) \in \mathbb{C}. Gâsiți z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât z2=z0z^2 = z_0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Notăm z=x+iyz = x + iy, cu x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}.
23 puncte
Scriem ecuația: (x+iy)2=a+ib⇒x2−y2+2ixy=a+ib(x + iy)^2 = a + ib \Rightarrow x^2 - y^2 + 2ixy = a + ib.
35 puncte
Egalăm părțile reale și imaginare: x2−y2=ax^2 - y^2 = a și 2xy=b2xy = b. Rezolvăm sistemul: dacă b≠0b \neq 0, din 2xy=b2xy = b exprimăm y=b/(2x)y = b/(2x) și substituim în prima ecuație, obținând x2−(b2/(4x2))=a⇒4x4−4ax2−b2=0x^2 - (b^2/(4x^2)) = a \Rightarrow 4x^4 - 4ax^2 - b^2 = 0. Soluțiile pentru x2x^2 sunt (a±a2+b2)/2(a \pm \sqrt{a^2 + b^2})/2. Pentru fiecare x2x^2 nenegativ, găsim xx și apoi y=b/(2x)y = b/(2x), obținând două soluții complexe (semn opus pentru xx dacă x≠0x \neq 0). Dacă b=0b = 0, atunci z0z_0 este real și ecuația devine x2−y2=ax^2 - y^2 = a și 2xy=02xy = 0. Dacă x=0x = 0, atunci y2=−ay^2 = -a, deci soluții pentru a≤0a \leq 0. Dacă y=0y = 0, atunci x2=ax^2 = a, deci soluții pentru a≥0a \geq 0. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.