MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Găsiți toate numerele complexe zz astfel încât z3=zˉz^3 = \bar{z}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie z=a+biz = a + bi. Atunci z3=(a+bi)3=a3−3ab2+(3a2b−b3)iz^3 = (a+bi)^3 = a^3 - 3ab^2 + (3a^2b - b^3)i, iar zˉ=a−bi\bar{z} = a - bi. Ecuația devine: a3−3ab2+(3a2b−b3)i=a−bia^3 - 3ab^2 + (3a^2b - b^3)i = a - bi.
24 puncte
Se egalează părțile reale și imaginare: partea reală a3−3ab2=aa^3 - 3ab^2 = a, adică a(a2−3b2−1)=0a(a^2 - 3b^2 - 1)=0; partea imaginară 3a2b−b3=−b3a^2b - b^3 = -b, adică b(3a2−b2+1)=0b(3a^2 - b^2 + 1)=0.
33 puncte
Se rezolvă sistemul. Cazurile: 1. a=0a=0 și b=0b=0: z=0z=0. 2. a=0a=0 și 3a2−b2+1=03a^2 - b^2 + 1=0 implică b2=1b^2=1, deci b=±1b=\pm1, z=±iz=\pm i. 3. b=0b=0 și a2−3b2−1=0a^2 - 3b^2 - 1=0 implică a2=1a^2=1, deci a=±1a=\pm1, z=±1z=\pm1. 4. a2−3b2−1=0a^2 - 3b^2 - 1=0 și 3a2−b2+1=03a^2 - b^2 + 1=0: scăzând, se obține a2+b2=−1a^2 + b^2 = -1, imposibil. Soluțiile sunt z=0z=0, z=±iz=\pm i, z=±1z=\pm1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.