MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere Complexe
Fie n > 2 un număr întreg. Găsiți numărul de soluții ale ecuației zn=zˉz^n = \bar{z}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem ecuația în coordonate polare: dacă z=reiθz = re^{i\theta}, atunci zˉ=re−iθ\bar{z} = re^{-i\theta}, și zn=rneinθz^n = r^n e^{in\theta}. Ecuația devine rneinθ=re−iθr^n e^{in\theta} = re^{-i\theta}.
23 puncte
Luăm modulul ambelor părți: ∣zn∣=∣zˉ∣|z^n| = |\bar{z}|, deci rn=rr^n = r. De aici, r(rn−1−1)=0r(r^{n-1} - 1) = 0, deci r=0r=0 sau rn−1=1r^{n-1}=1.
33 puncte
Pentru r=0r=0, avem soluția z=0z=0. Pentru rn−1=1r^{n-1}=1, deci r=1r=1 (deoarece r este real și pozitiv). Acum, din argumente: einθ=e−iθe^{in\theta} = e^{-i\theta}, deci inθ=−iθ+2kπiin\theta = -i\theta + 2k\pi i, pentru k întreg, adică inθ+iθ=2kπiin\theta + i\theta = 2k\pi i, deci iθ(n+1)=2kπii\theta(n+1) = 2k\pi i, așadar θ=2kπn+1\theta = \frac{2k\pi}{n+1}.
42 puncte
Numărul de soluții distincte este dat de valorile lui θ\theta pentru k=0,1,2,…,nk = 0, 1, 2, \dots, n, deoarece θ\theta modulo 2π2\pi. Astfel, pentru r=1r=1, avem n+1n+1 valori pentru θ\theta, deci n+1n+1 soluții. Plus soluția z=0z=0, dar z=0z=0 este inclusă pentru r=0r=0, și nu se suprapune cu celelalte. Deci numărul total de soluții este n+1n+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.