MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeIdentități algebrice
Demonstrați identitatea: ∣1+z1z2∣2+∣z1−z2∣2=(1+∣z1∣2)(1+∣z2∣2)|1 + z_1 z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = (1 + |z_1|^2)(1 + |z_2|^2).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Folosim ∣z∣2=zz‾|z|^2 = z \overline{z}. Scriem ∣1+z1z2∣2=(1+z1z2)(1+z1‾z2‾)=1+z1z2+z1‾z2‾+∣z1∣2∣z2∣2|1 + z_1 z_2|^2 = (1 + z_1 z_2)(1 + \overline{z_1} \overline{z_2}) = 1 + z_1 z_2 + \overline{z_1} \overline{z_2} + |z_1|^2 |z_2|^2 și ∣z1−z2∣2=(z1−z2)(z1‾−z2‾)=∣z1∣2−z1z2‾−z1‾z2+∣z2∣2|z_1 - z_2|^2 = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2}) = |z_1|^2 - z_1 \overline{z_2} - \overline{z_1} z_2 + |z_2|^2.
23 puncte
Adunăm cele două expresii: ∣1+z1z2∣2+∣z1−z2∣2=1+∣z1∣2+∣z2∣2+∣z1∣2∣z2∣2+z1z2+z1‾z2‾−z1z2‾−z1‾z2|1 + z_1 z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 1 + |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1|^2 |z_2|^2 + z_1 z_2 + \overline{z_1} \overline{z_2} - z_1 \overline{z_2} - \overline{z_1} z_2.
33 puncte
Simplificăm termenii: z1z2+z1‾z2‾−z1z2‾−z1‾z2=0z_1 z_2 + \overline{z_1} \overline{z_2} - z_1 \overline{z_2} - \overline{z_1} z_2 = 0, deoarece aceștia se anulează reciproc datorită proprietăților numerelor complexe. Astfel, obținem 1+∣z1∣2+∣z2∣2+∣z1∣2∣z2∣21 + |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_1|^2 |z_2|^2, care este exact (1+∣z1∣2)(1+∣z2∣2)(1 + |z_1|^2)(1 + |z_2|^2). Identitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.