MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere Complexe
Rezolvați ecuația ∣z∣−2z=3−4i|z| - 2z = 3 - 4i.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Fie z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. Atunci ∣z∣=a2+b2|z| = \sqrt{a^2 + b^2}. Ecuația devine a2+b2−2(a+bi)=3−4i\sqrt{a^2 + b^2} - 2(a + bi) = 3 - 4i.
22 puncte
Separăm părțile reale și imaginare: a2+b2−2a=3\sqrt{a^2 + b^2} - 2a = 3 și −2b=−4-2b = -4. Din a doua, obținem b=2b = 2.
32 puncte
Înlocuim b=2b = 2 în ecuația reală: a2+4−2a=3\sqrt{a^2 + 4} - 2a = 3. Notăm t=a2+4t = \sqrt{a^2 + 4}, deci t−2a=3t - 2a = 3 și t2=a2+4t^2 = a^2 + 4.
43 puncte
Din t−2a=3t - 2a = 3, avem t=2a+3t = 2a + 3. Substituim în t2=a2+4t^2 = a^2 + 4: (2a+3)2=a2+4(2a + 3)^2 = a^2 + 4. Rezolvăm: 4a2+12a+9=a2+44a^2 + 12a + 9 = a^2 + 4, deci 3a2+12a+5=03a^2 + 12a + 5 = 0. Soluțiile sunt a=−12±144−606=−12±846=−6±213a = \frac{-12 \pm \sqrt{144 - 60}}{6} = \frac{-12 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{21}}{3}. Verificăm condiția t=2a+3≥0t = 2a + 3 \geq 0: pentru a=−6+213a = \frac{-6 + \sqrt{21}}{3}, 2a+3>02a + 3 > 0, deci valid; pentru a=−6−213a = \frac{-6 - \sqrt{21}}{3}, 2a+3<02a + 3 < 0, deci invalid.
51 punct
Soluția validă este z=−6+213+2iz = \frac{-6 + \sqrt{21}}{3} + 2i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.