MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeIdentități algebrice
Demonstrați identitatea: ∣z1+z2∣2+∣z2+z3∣2+∣z3+z1∣2=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+∣z1+z2+z3∣2|z_1 + z_2|^2 + |z_2 + z_3|^2 + |z_3 + z_1|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + |z_1 + z_2 + z_3|^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosim proprietatea ∣z∣2=zz‾|z|^2 = z \overline{z}. Scriem fiecare termen: ∣z1+z2∣2=(z1+z2)(z1‾+z2‾)|z_1 + z_2|^2 = (z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}), ∣z2+z3∣2=(z2+z3)(z2‾+z3‾)|z_2 + z_3|^2 = (z_2 + z_3)(\overline{z_2} + \overline{z_3}), ∣z3+z1∣2=(z3+z1)(z3‾+z1‾)|z_3 + z_1|^2 = (z_3 + z_1)(\overline{z_3} + \overline{z_1}).
23 puncte
Expandăm fiecare expresie: ∣z1+z2∣2=∣z1∣2+z1z2‾+z1‾z2+∣z2∣2|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 + |z_2|^2, similar pentru celelalte, și adunăm: ∣z1+z2∣2+∣z2+z3∣2+∣z3+z1∣2=2(∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2)+(z1z2‾+z1‾z2+z2z3‾+z2‾z3+z3z1‾+z3‾z1)|z_1 + z_2|^2 + |z_2 + z_3|^2 + |z_3 + z_1|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2) + (z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 + z_2 \overline{z_3} + \overline{z_2} z_3 + z_3 \overline{z_1} + \overline{z_3} z_1).
34 puncte
Calculăm ∣z1+z2+z3∣2=(z1+z2+z3)(z1‾+z2‾+z3‾)=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+z1z2‾+z1‾z2+z1z3‾+z1‾z3+z2z3‾+z2‾z3|z_1 + z_2 + z_3|^2 = (z_1 + z_2 + z_3)(\overline{z_1} + \overline{z_2} + \overline{z_3}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + z_1 \overline{z_2} + \overline{z_1} z_2 + z_1 \overline{z_3} + \overline{z_1} z_3 + z_2 \overline{z_3} + \overline{z_2} z_3. Comparând cu suma din step 2, vedem că este egală cu ∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+∣z1+z2+z3∣2|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + |z_1 + z_2 + z_3|^2, deci identitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.