MediuNumere ComplexeClasa 11

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeSisteme de Ecuații Liniare
Găsiți numerele reale xx și yy astfel încât x−32+i+y−32−i=i\frac{x-3}{2+i} + \frac{y-3}{2-i} = i.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se simplifică fiecare fracție prin înmulțirea cu conjugatul: x−32+i=(x−3)(2−i)5\frac{x-3}{2+i} = \frac{(x-3)(2-i)}{5}, y−32−i=(y−3)(2+i)5\frac{y-3}{2-i} = \frac{(y-3)(2+i)}{5}.
22 puncte
Se scrie ecuația și se înmulțește cu 5: (x−3)(2−i)+(y−3)(2+i)=5i(x-3)(2-i) + (y-3)(2+i) = 5i.
33 puncte
Se extinde și se separă părțile reale și imaginare: (2x−6−i(x−3))+(2y−6+i(y−3))=2x+2y−12+i(y−x)=5i(2x - 6 - i(x-3)) + (2y - 6 + i(y-3)) = 2x + 2y - 12 + i(y-x) = 5i, deci partea reală: 2x+2y−12=02x+2y-12=0, adică x+y=6x+y=6, și partea imaginară: y−x=5y-x=5.
42 puncte
Se rezolvă sistemul: din x+y=6x+y=6 și y−x=5y-x=5, adunând se obține 2y=112y=11, deci y=112y=\frac{11}{2}. Apoi x=6−y=12x=6-y=\frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.