MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați ecuația (1+i)z2+2+11i=0(1+ i)z^2 + 2 + 11i = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se izolează z2z^2: z2=−2−11i1+iz^2 = \frac{-2 -11i}{1+i}.
23 puncte
Se simplifică fracția prin înmulțirea cu conjugata: z2=(−2−11i)(1−i)(1+i)(1−i)=−13−9i2=−132−92iz^2 = \frac{(-2-11i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{-13 -9i}{2} = -\frac{13}{2} - \frac{9}{2}i.
34 puncte
Se rezolvă z2=−132−92iz^2 = -\frac{13}{2} - \frac{9}{2}i. Se notează z=x+yiz = x+yi, deci x2−y2=−132x^2 - y^2 = -\frac{13}{2} și 2xy=−922xy = -\frac{9}{2}. Se calculează x2+y2=(−132)2+(−92)2=5102x^2 + y^2 = \sqrt{ \left( -\frac{13}{2} \right)^2 + \left( -\frac{9}{2} \right)^2 } = \frac{5\sqrt{10}}{2}. Apoi x2=510−134x^2 = \frac{5\sqrt{10} - 13}{4}, y2=510+134y^2 = \frac{5\sqrt{10} + 13}{4}, și din xy=−94xy = -\frac{9}{4}, se determină z=±(510−134+i510+134)z = \pm \left( \sqrt{\frac{5\sqrt{10}-13}{4}} + i \sqrt{\frac{5\sqrt{10}+13}{4}} \right), cu semne opuse.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.