MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți toate numerele complexe zz astfel încât 4z2+8∣z∣2=84z^2 + 8|z|^2 = 8.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie z=a+biz = a + bi, cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}. Atunci z2=(a+bi)2=a2−b2+2abiz^2 = (a+bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi și ∣z∣2=a2+b2|z|^2 = a^2 + b^2. Ecuația devine: 4(a2−b2+2abi)+8(a2+b2)=84(a^2 - b^2 + 2abi) + 8(a^2 + b^2) = 8, adică 12a2+4b2+8abi=812a^2 + 4b^2 + 8abi = 8.
24 puncte
Se egalează părțile reale și imaginare: partea imaginară 8ab=08ab = 0, deci ab=0ab=0. Partea reală 12a2+4b2=812a^2 + 4b^2 = 8. Se disting cazurile: dacă a=0a=0, atunci 4b2=84b^2 = 8, deci b2=2b^2=2, b=±2b=\pm\sqrt{2}; dacă b=0b=0, atunci 12a2=812a^2=8, deci a2=2/3a^2=2/3, a=±2/3a=\pm\sqrt{2/3}.
33 puncte
Soluțiile sunt z=2iz = \sqrt{2}i, z=−2iz = -\sqrt{2}i, z=2/3z = \sqrt{2/3}, z=−2/3z = -\sqrt{2/3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.