MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoameSisteme de Ecuații Neliniare
Găsiți toate numerele reale mm pentru care ecuația z3+(3+i)z2−3z−(m+i)=0z^3 + (3+i)z^2 - 3z - (m+i) = 0 are cel puțin o rădăcină reală.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Presupunem că există o rădăcină reală z=xz = x, cu x∈Rx \in \mathbb{R}.
23 puncte
Înlocuim z=xz = x în ecuație: x3+(3+i)x2−3x−(m+i)=0x^3 + (3+i)x^2 - 3x - (m+i) = 0 și separăm părțile reale și imaginare: x3+3x2−3x−m+i(x2−1)=0x^3 + 3x^2 - 3x - m + i(x^2 - 1) = 0.
32 puncte
Punem condiția ca partea imaginară să fie zero: x2−1=0x^2 - 1 = 0, deci x=1x = 1 sau x=−1x = -1.
42 puncte
Pentru fiecare xx, înlocuim în partea reală: pentru x=1x=1, 1+3−3−m=0⇒m=11 + 3 - 3 - m = 0 \Rightarrow m=1; pentru x=−1x=-1, −1+3+3−m=0⇒m=5-1 + 3 + 3 - m = 0 \Rightarrow m=5.
51 punct
Concluzionăm că mm poate fi 11 sau 55.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.