MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie a, b, c numere reale și w=−12+i32w = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}. Calculați (a+bw+cw2)(a+bw2+cw)(a + b w + c w^2)(a + b w^2 + c w).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se identifică că w=−12+i32w = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} este o rădăcină cubică complexă a unității, cu w3=1w^3 = 1 și w≠1w \neq 1.
23 puncte
Se calculează w2=−12−i32w^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} și se folosește că w+w2=−1w + w^2 = -1 și w3=1w^3 = 1.
35 puncte
Se efectuează înmulțirea: (a+bw+cw2)(a+bw2+cw)=a2+abw2+acw+abw+b2w3+bcw2+acw2+bcw4+c2w3(a + b w + c w^2)(a + b w^2 + c w) = a^2 + a b w^2 + a c w + a b w + b^2 w^3 + b c w^2 + a c w^2 + b c w^4 + c^2 w^3. Folosind w3=1w^3 = 1, w4=ww^4 = w, și w+w2=−1w + w^2 = -1, se simplifică la a2+b2+c2+ab(w2+w)+ac(w+w2)+bc(w2+w)=a2+b2+c2−ab−ac−bca^2 + b^2 + c^2 + ab(w^2 + w) + ac(w + w^2) + bc(w^2 + w) = a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.