MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere Complexe
Găsiți toate numerele complexe z≠0z \neq 0 astfel încât z+1z∈Rz + \frac{1}{z} \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem z=a+biz = a + bi cu a,b∈Ra,b \in \mathbb{R} și z≠0z \neq 0, deci a2+b2≠0a^2 + b^2 \neq 0.
23 puncte
Calculăm 1z=1a+bi=a−bia2+b2\frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}.
32 puncte
Atunci z+1z=a+bi+a−bia2+b2=a+aa2+b2+i(b−ba2+b2)z + \frac{1}{z} = a + bi + \frac{a-bi}{a^2+b^2} = a + \frac{a}{a^2+b^2} + i\left(b - \frac{b}{a^2+b^2}\right).
43 puncte
Pentru ca această expresie să fie reală, partea imaginară trebuie să fie zero: b−ba2+b2=0⇒b(1−1a2+b2)=0b - \frac{b}{a^2+b^2} = 0 \Rightarrow b\left(1 - \frac{1}{a^2+b^2}\right) = 0. Deoarece a2+b2≠0a^2+b^2 \neq 0, avem două cazuri: fie b=0b = 0, fie 1−1a2+b2=0⇒a2+b2=11 - \frac{1}{a^2+b^2} = 0 \Rightarrow a^2+b^2 = 1. Astfel, soluțiile sunt toate z≠0z \neq 0 cu z∈Rz \in \mathbb{R} (b=0) sau ∣z∣=1|z| = 1 (a^2+b^2=1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.