MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere Complexe
Considerați z∈Cz \in \mathbb{C} cu Re⁡(z)>1\operatorname{Re}(z) > 1. Arătați că ∣1z−12∣<12\left| \frac{1}{z} - \frac{1}{2} \right| < \frac{1}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se scrie ∣1z−12∣=∣2−z∣2∣z∣\left| \frac{1}{z} - \frac{1}{2} \right| = \frac{|2 - z|}{2|z|} folosind proprietățile modulului.
23 puncte
Se observă că inegalitatea ∣1z−12∣<12\left| \frac{1}{z} - \frac{1}{2} \right| < \frac{1}{2} este echivalentă cu ∣2−z∣<∣z∣|2 - z| < |z|.
35 puncte
Se notează z=x+iyz = x + iy cu x=Re⁡(z)>1x = \operatorname{Re}(z) > 1. Atunci ∣2−z∣2=(2−x)2+y2|2 - z|^2 = (2-x)^2 + y^2 și ∣z∣2=x2+y2|z|^2 = x^2 + y^2. Comparând, (2−x)2+y2<x2+y2  ⟺  (2−x)2<x2  ⟺  4−4x+x2<x2  ⟺  4−4x<0  ⟺  x>1(2-x)^2 + y^2 < x^2 + y^2 \iff (2-x)^2 < x^2 \iff 4 - 4x + x^2 < x^2 \iff 4 - 4x < 0 \iff x > 1. Deoarece x>1x > 1, inegalitatea este adevărată, deci ∣2−z∣<∣z∣|2 - z| < |z| și ∣1z−12∣<12\left| \frac{1}{z} - \frac{1}{2} \right| < \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.