MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere Complexe
Calculați (1+i32)6+(1−i72)6\left( \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \right)^6 + \left( \frac{1-i\sqrt{7}}{2} \right)^6.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm modulul și argumentul pentru z1=1+i32z_1 = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} și z2=1−i72z_2 = \frac{1-i\sqrt{7}}{2}. z1z_1: modulul r1=1r_1=1, argumentul θ1=π/3\theta_1=\pi/3; z2z_2: modulul r2=2r_2=\sqrt{2}, argumentul θ2=−arctan⁡(7)\theta_2=-\arctan(\sqrt{7}).
23 puncte
Aplicăm formula lui De Moivre: z16=r16(cos⁡(6θ1)+isin⁡(6θ1))=1⋅(cos⁡(2π)+isin⁡(2π))=1z_1^6 = r_1^6 (\cos(6\theta_1) + i \sin(6\theta_1)) = 1 \cdot (\cos(2\pi) + i \sin(2\pi)) = 1. z26=r26(cos⁡(6θ2)+isin⁡(6θ2))=8(cos⁡(6θ2)+isin⁡(6θ2))=8cos⁡(6α)−8isin⁡(6α)z_2^6 = r_2^6 (\cos(6\theta_2) + i \sin(6\theta_2)) = 8 (\cos(6\theta_2) + i \sin(6\theta_2)) = 8 \cos(6\alpha) - 8 i \sin(6\alpha), unde α=arctan⁡(7)\alpha = \arctan(\sqrt{7}).
33 puncte
Adunăm rezultatele: 1+8cos⁡(6α)−8isin⁡(6α)1 + 8 \cos(6\alpha) - 8 i \sin(6\alpha).
42 puncte
Simplificăm sau prezentăm răspunsul final: 1+8cos⁡(6α)−8isin⁡(6α)1 + 8 \cos(6\alpha) - 8 i \sin(6\alpha), cu α=arctan⁡(7)\alpha = \arctan(\sqrt{7}).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.