MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația iz2+(1+2i)z+1=0iz^2 + (1+ 2i)z + 1 = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Identificăm coeficienții: a=ia = i, b=1+2ib = 1+2i, c=1c = 1. Calculăm discriminantul Δ=b2−4ac=(1+2i)2−4⋅i⋅1=(1+4i+4i2)−4i=(1+4i−4)−4i=−3\Delta = b^2 - 4ac = (1+2i)^2 - 4 \cdot i \cdot 1 = (1 + 4i + 4i^2) - 4i = (1+4i-4) -4i = -3.
22 puncte
Rădăcina pătrată a discriminantului: Δ=−3=i3\sqrt{\Delta} = \sqrt{-3} = i\sqrt{3}.
32 puncte
Aplicăm formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea: z=−b±Δ2a=−(1+2i)±i32iz = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(1+2i) \pm i\sqrt{3}}{2i}.
43 puncte
Simplificăm expresia: z=−1−2i±i32i=−12i−2i2i±i32i=i2−1±32=−1+i2±32z = \frac{-1 -2i \pm i\sqrt{3}}{2i} = \frac{-1}{2i} - \frac{2i}{2i} \pm \frac{i\sqrt{3}}{2i} = \frac{i}{2} - 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{2} = -1 + \frac{i}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}. Deci soluțiile sunt z=−2+32+i2z = \frac{-2 + \sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} și z=−2−32+i2z = \frac{-2 - \sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.