MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeFuncția de gradul al II-leaPolinoame
Rezolvați ecuația z4+6(1+i)z2+5+6i=0z^4 + 6(1+ i)z^2 + 5 + 6i = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Se notează w=z2w = z^2 și se obține ecuația pătratică w2+6(1+i)w+5+6i=0w^2 + 6(1+i)w + 5 + 6i = 0.
22 puncte
Se aplică formula de rezolvare a ecuației de gradul al doilea: w=−6(1+i)±(6(1+i))2−4⋅1⋅(5+6i)2w = \frac{-6(1+i) \pm \sqrt{(6(1+i))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5+6i)}}{2}.
33 puncte
Se calculează discriminantul: (6(1+i))2=72i(6(1+i))^2 = 72i, 4⋅(5+6i)=20+24i4 \cdot (5+6i) = 20 + 24i, deci Δ=72i−(20+24i)=−20+48i\Delta = 72i - (20+24i) = -20 + 48i. Se găsește −20+48i=±(4+6i)\sqrt{-20 + 48i} = \pm(4+6i) rezolvând (a+bi)2=−20+48i(a+bi)^2 = -20 + 48i.
41 punct
Se determină valorile lui ww: w1=−6−6i+(4+6i)2=−1w_1 = \frac{-6-6i + (4+6i)}{2} = -1 și w2=−6−6i−(4+6i)2=−5−6iw_2 = \frac{-6-6i - (4+6i)}{2} = -5 -6i.
51 punct
Pentru w1=−1w_1 = -1, avem z2=−1z^2 = -1, deci z=±iz = \pm i.
61 punct
Pentru w2=−5−6iw_2 = -5-6i, se rezolvă z2=−5−6iz^2 = -5-6i. Se notează z=x+yiz = x+yi, deci x2−y2=−5x^2 - y^2 = -5 și 2xy=−62xy = -6. Rezolvând, se obține z=±(61−52+i61+52)z = \pm \left( \sqrt{\frac{\sqrt{61}-5}{2}} + i \sqrt{\frac{\sqrt{61}+5}{2}} \right), cu semne opuse conform xy=−3xy = -3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.