MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 numere complexe cu ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=R>0|z_1| = |z_2| = |z_3| = R > 0. Demonstrați că ∣z1−z2∣⋅∣z2−z3∣+∣z2−z3∣⋅∣z3−z1∣+∣z3−z1∣⋅∣z1−z2∣≤9R2|z_1 - z_2| \cdot |z_2 - z_3| + |z_2 - z_3| \cdot |z_3 - z_1| + |z_3 - z_1| \cdot |z_1 - z_2| \leq 9R^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Fie a=∣z1−z2∣a = |z_1 - z_2|, b=∣z2−z3∣b = |z_2 - z_3|, c=∣z3−z1∣c = |z_3 - z_1|. Trebuie să demonstrăm că ab+bc+ca≤9R2ab + bc + ca \leq 9R^2.
23 puncte
Aplicăm inegalitatea medie aritmetică-geometrică: pentru orice x,y≥0x,y \geq 0, avem xy≤(x2+y2)/2xy \leq (x^2 + y^2)/2. Atunci ab≤(a2+b2)/2ab \leq (a^2 + b^2)/2, bc≤(b2+c2)/2bc \leq (b^2 + c^2)/2, ca≤(c2+a2)/2ca \leq (c^2 + a^2)/2. Sumând, obținem ab+bc+ca≤a2+b2+c2ab + bc + ca \leq a^2 + b^2 + c^2.
33 puncte
Calculăm a2+b2+c2=∣z1−z2∣2+∣z2−z3∣2+∣z3−z1∣2a^2 + b^2 + c^2 = |z_1 - z_2|^2 + |z_2 - z_3|^2 + |z_3 - z_1|^2. Folosind identitatea ∣u−v∣2=∣u∣2+∣v∣2−2Re(uvˉ)|u-v|^2 = |u|^2 + |v|^2 - 2\text{Re}(u\bar{v}), avem a2+b2+c2=2(∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2)−2Re(z1z2ˉ+z2z3ˉ+z3z1ˉ)a^2 + b^2 + c^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2) - 2\text{Re}(z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_3} + z_3\bar{z_1}). Dar ∣z1∣2=∣z2∣2=∣z3∣2=R2|z_1|^2 = |z_2|^2 = |z_3|^2 = R^2, deci ∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2=3R2|z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 = 3R^2. De asemenea, ∣z1+z2+z3∣2=∣z1∣2+∣z2∣2+∣z3∣2+2Re(z1z2ˉ+z2z3ˉ+z3z1ˉ)|z_1 + z_2 + z_3|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + |z_3|^2 + 2\text{Re}(z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_3} + z_3\bar{z_1}), deci Re(z1z2ˉ+z2z3ˉ+z3z1ˉ)=(∣z1+z2+z3∣2−3R2)/2\text{Re}(z_1\bar{z_2} + z_2\bar{z_3} + z_3\bar{z_1}) = (|z_1 + z_2 + z_3|^2 - 3R^2)/2. Atunci a2+b2+c2=6R2−(∣z1+z2+z3∣2−3R2)=9R2−∣z1+z2+z3∣2a^2 + b^2 + c^2 = 6R^2 - (|z_1 + z_2 + z_3|^2 - 3R^2) = 9R^2 - |z_1 + z_2 + z_3|^2.
42 puncte
Cum ∣z1+z2+z3∣2≥0|z_1 + z_2 + z_3|^2 \geq 0, rezultă că a2+b2+c2≤9R2a^2 + b^2 + c^2 \leq 9R^2. Prin urmare, ab+bc+ca≤9R2ab + bc + ca \leq 9R^2, ceea ce trebuia demonstrat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.