MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveEcuații exponentiale
Rezolvați: Pentru ce valori ale lui a < 0 inegalitatea ∫a0(3−2x−2⋅3−x) dx≥0\int_a^0(3^{-2x}-2\cdot3^{-x})\,dx\ge 0 este adevărată?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculați primitiva funcției f(x)=3−2x−2⋅3−xf(x)=3^{-2x}-2\cdot3^{-x}. Se obține F(x)=−3−2x2ln⁡3+2 3−xln⁡3F(x)=-\frac{3^{-2x}}{2\ln 3}+\frac{2\,3^{-x}}{\ln 3}.
23 puncte
Evaluați integrala definită: I(a)=F(0)−F(a)=12ln⁡3(3−2a−4 3−a+3)=12ln⁡3(t2−4t+3)I(a)=F(0)-F(a)=\frac{1}{2\ln 3}\big(3^{-2a}-4\,3^{-a}+3\big)=\frac{1}{2\ln 3}(t^2-4t+3), unde t=3−at=3^{-a}.
33 puncte
Observați că pentru a<0a<0 avem t>1t>1. Inegalitatea I(a)≥0I(a)\ge 0 echivalează cu (t−1)(t−3)≥0(t-1)(t-3)\ge 0, deci t≥3t\ge 3, adică 3−a≥3⇒a≤−13^{-a}\ge 3\Rightarrow a\le -1. Concluzie: inegalitatea este adevărată pentru a≤−1a\le -1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.