MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația sin⁡ ⁣(2x+1x)+sin⁡ ⁣(2x+13x)−3cos⁡2 ⁣(2x+13x)=0\sin\!\big(\dfrac{2x+1}{x}\big)+\sin\!\big(\dfrac{2x+1}{3x}\big)-3\cos^{2}\!\big(\dfrac{2x+1}{3x}\big)=0 (cu x≠0x\ne0).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm A=2x+13xA=\dfrac{2x+1}{3x}, deci 2x+1x=3A\dfrac{2x+1}{x}=3A. Ecuația devine sin⁡3A+sin⁡A−3cos⁡2A=0\sin3A+\sin A-3\cos^{2}A=0.
24 puncte
Folosim identitatea sin⁡3A=3sin⁡A−4sin⁡3A\sin3A=3\sin A-4\sin^{3}A, astfel sin⁡3A+sin⁡A=4sin⁡Acos⁡2A\sin3A+\sin A=4\sin A\cos^{2}A. Ecuația devine cos⁡2A(4sin⁡A−3)=0\cos^{2}A(4\sin A-3)=0.
33 puncte
Rezultă fie cos⁡A=0⇒A=π2+kπ\cos A=0\Rightarrow A=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, fie sin⁡A=34⇒A=arcsin⁡ ⁣(34)+2kπ\sin A=\dfrac{3}{4}\Rightarrow A=\arcsin\!\big(\tfrac{3}{4}\big)+2k\pi sau A=π−arcsin⁡ ⁣(34)+2kπA=\pi-\arcsin\!\big(\tfrac{3}{4}\big)+2k\pi. Revenind la xx, din A=2x+13x=tA=\dfrac{2x+1}{3x}=t se obține x=13t−2x=\dfrac{1}{3t-2} (cu x≠0x\ne0), deci soluțiile sunt date prin x=13(π2+kπ)−2x=\dfrac{1}{3(\tfrac{\pi}{2}+k\pi)-2} pentru cazul cos⁡A=0\cos A=0, respectiv x=13 (arcsin⁡(34)+2kπ)−2x=\dfrac{1}{3\,\big(\arcsin(\tfrac{3}{4})+2k\pi\big)-2} sau x=13 (π−arcsin⁡(34)+2kπ)−2x=\dfrac{1}{3\,\big(\pi-\arcsin(\tfrac{3}{4})+2k\pi\big)-2} pentru cazul sin⁡A=34\sin A=\tfrac{3}{4}, cu observația că trebuie să nu se anuleze numitorul. Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.