GreuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

GreuEcuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡(x+1+1)log⁡(x3−40)=3\dfrac{\log(\sqrt{x+1}+1)}{\log(\sqrt[3]{x}-40)}=3

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul: argumentele logaritmilor >0 şi log din numitor ≠0. Astfel x+1+1>0⇒x≥−1\sqrt{x+1}+1>0\Rightarrow x\ge-1, iar x3−40>0⇒x3>40⇒x>403=64000\sqrt[3]{x}-40>0\Rightarrow\sqrt[3]{x}>40\Rightarrow x>40^{3}=64000, şi x3≠41⇒x≠413=68921\sqrt[3]{x}\neq41\Rightarrow x\neq41^{3}=68921. Împreună: x>64000x>64000, x≠68921x\neq68921.\n
22 puncte
Folosim identitatea log⁡Alog⁡B=3  ⟺  A=B3\dfrac{\log A}{\log B}=3\iff A=B^{3} (pentru argumente pozitive, baza comună a logaritmilor). Obţinem x+1+1=(x3−40)3\sqrt{x+1}+1=(\sqrt[3]{x}-40)^{3}.\n
32 puncte
Notăm t=x3−40>0t=\sqrt[3]{x}-40>0, deci (t+40)3+1=t3−1\sqrt{(t+40)^{3}+1}=t^{3}-1. Pătrând se obţine polinomul t6−3t3−120t2−4800t−64000=0.t^{6}-3t^{3}-120t^{2}-4800t-64000=0.\n
43 puncte
Se analizează numeric şi se găseşte o soluţie reală pozitivă t≈6.8522t\approx6.8522, ceea ce dă x3=t+40≈46.8522\sqrt[3]{x}=t+40\approx46.8522 şi x=(t+40)3≈102843x=(t+40)^{3}\approx102843. Verificarea aproximativă în ecuația inițială confirmă soluţia numerică x≈102843x\approx102843 (cu precizie reglabilă numeric).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.