MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm y=log⁡2xy = \log_2 x. Pentru radicali avem nevoie de y≥0y \ge 0, deci x≥1x \ge 1. Ecuația devine y+y3=2.\sqrt{y} + \sqrt[3]{y} = 2.\n
24 puncte
Notăm a=y⇒y=a2a = \sqrt{y} \Rightarrow y = a^2 și y3=a23=a2/3\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{a^2} = a^{2/3}. Punem t=a1/3>0t = a^{1/3} > 0, astfel a=t3a = t^3 și ecuația se rescrie t3+t2=2.t^3 + t^2 = 2. Aceasta este echivalentă cu t3+t2−2=0t^3 + t^2 - 2 = 0, adică (t−1)(t2+2t+2)=0.(t - 1)(t^2 + 2t + 2) = 0. Deoarece t2+2t+2>0t^2 + 2t + 2 > 0 pentru orice tt, obținem t=1t = 1, deci a=1a = 1 și y=1y = 1.\n
33 puncte
Din y=log⁡2x=1y = \log_2 x = 1 rezultă x=2x = 2. Această valoare respectă condiția x≥1x \ge 1 și verifică ecuația inițială. Soluția este S={2}S = \{2\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#2Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#3Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Mediu#4Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 3log⁡2/3x+x⋅log⁡3x=1623^{\log_{2/3} x} + x\cdot\log_{3} x = 162.
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.