MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateTrigonometrieAplicații ale derivatelor
Pentru ce valori ale lui xx are f′(x)=g′(x)f'(x) = g'(x) dacă f(x)=4xcos⁡2(x/2)f(x) = 4x \cos^2(x/2) și g(x)=8cos⁡(x/2)−3−2xsin⁡xg(x) = 8 \cos(x/2) - 3 - 2x \sin x?

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Observație și simplificare: folosiți identitatea cos⁡2x2=1+cos⁡x2\cos^2\frac{x}{2}=\tfrac{1+\cos x}{2} pentru a rescrie f(x)f(x) ca f(x)=2x(1+cos⁡x)=2x+2xcos⁡xf(x)=2x(1+\cos x)=2x+2x\cos x.
23 puncte
Calculul derivatelor: derivați ff și gg. Se obține f′(x)=2+2cos⁡x−2xsin⁡xf'(x)=2+2\cos x -2x\sin x și, folosind sin⁡x=2sin⁡x2cos⁡x2\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} și cos⁡x=2cos⁡2x2−1\cos x=2\cos^2\frac{x}{2}-1, pentru g′g' se obține g′(x)=−4sin⁡x2−2sin⁡x−2xcos⁡xg'(x)=-4\sin\frac{x}{2}-2\sin x -2x\cos x.
33 puncte
Punerea egală și simplificarea: impuneți f′(x)=g′(x)f'(x)=g'(x) și aduceți totul într-o parte pentru a obține ecuația echivalentă (exprimată, de preferință, în funcții de xx sau de x2\tfrac{x}{2}), de exemplu a) 2+2cos⁡x−2xsin⁡x+4sin⁡x2+2sin⁡x+2xcos⁡x=0.2+2\cos x -2x\sin x +4\sin\tfrac{x}{2} +2\sin x +2x\cos x =0.
41 punct
Concluzie: soluțiile cerute sunt toate valorile reale ale lui xx care satisfac ecuația de mai sus (se pot determina numeric sau analitic după context).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.