MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: cos⁡2x+22cos⁡xsin⁡x+1=0\cos^2 x + 2\sqrt{2}\cos x\sin x + 1 = 0

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiţi identităţile 2cos⁡xsin⁡x=sin⁡2x2\cos x\sin x=\sin 2x şi cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x=\tfrac{1+\cos 2x}{2} pentru a scrie ecuaţia ca o ecuaţie în unghiul 2x2x.
25 puncte
Obţineţi transformarea cos⁡2x+22sin⁡2x+3=0\cos 2x + 2\sqrt{2}\sin 2x + 3=0, apoi folosiţi formula de reducere Acos⁡θ+Bsin⁡θ=Rcos⁡(θ−φ)A\cos\theta+B\sin\theta=R\cos(\theta-\varphi) cu R=1+(22)2=3R=\sqrt{1+(2\sqrt{2})^2}=3 pentru a scrie ecuaţia sub forma 3cos⁡(2x−φ)+3=03\cos(2x-\varphi)+3=0 şi determinaţi φ\varphi prin cos⁡φ=13\cos\varphi=\tfrac{1}{3}, sin⁡φ=223\sin\varphi=\tfrac{2\sqrt{2}}{3}.
32 puncte
Scrieţi soluţiile generale: 2x−φ=π+2kπ2x-\varphi=\pi+2k\pi, deci x=π+φ2+kπx=\tfrac{\pi+\varphi}{2}+k\pi, şi menţionaţi forma explicită cu φ=arccos⁡(13)\varphi=\arccos\left(\tfrac{1}{3}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.