GreuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

GreuEcuații logaritmiceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați inegalitatea log⁡a(1−8a−x)ge2(1−x),a∈R\log_a(1 - 8 a^{-x}) \\ge 2(1 - x),\quad a \in \mathbb{R}.

Rezolvare completă

4 puncte · 4 pași
12 puncte
Observăm restricțiile pentru baza logaritmului: trebuie a>0a>0, a≠1a\neq 1, iar argumentul logaritmului pozitiv: 1−8a−x>01-8a^{-x}>0. Vom considera cazurile a>1a>1 si 0<a<10<a<1.
22 puncte
Notăm y=a−x>0y=a^{-x}>0. Atunci condiția argumentului este y<1/8y<1/8, iar termenul din dreapta devine a2(1−x)=a2y2a^{2(1-x)}=a^{2}y^{2}. Inegalitatea devine, pentru a>1a>1 (log crescător): 1−8ygea2y21-8y \\ge a^{2}y^{2}; pentru 0<a<10<a<1 (log descrescător) se inversează semnul: 1−8ylea2y21-8y \\le a^{2}y^{2}. step 3, 3 puncte (caz a>1a>1): Rearanjăm a2y2+8y−1le0a^{2}y^{2}+8y-1 \\le 0. Discriminantul este Delta=64+4a2=4(16+a2)\\Delta=64+4a^{2}=4(16+a^{2}), iar singura soluție pozitivă pentru intervalul dintre rădăcini este 0<yley20<y\\le y_2, unde y2=dfrac−4+16+a2a2y_2=\\dfrac{-4+\sqrt{16+a^{2}}}{a^{2}}. Trebuie în plus y<1/8y<1/8, deci pentru a>1a>1 avem a−x∈(0,min(y2,1/8))a^{-x} \in(0,\\min(y_2,1/8)). Echivalent pentru xx: x>log⁡a8x>\log_a 8 si xge−log⁡ay2x \\ge -\log_a y_2 (dependență de relația dintre y2y_2 si 1/81/8). step 4, 3 puncte (caz 0<a<10<a<1): Rearanjăm a2y2−8y+1ge0a^{2}y^{2}-8y+1 \\ge 0. Discriminantul este Delta=64−4a2=4(16−a2)\\Delta=64-4a^{2}=4(16-a^{2}) (pozitiv pentru a<4a<4). Rădăcinile pozitive sunt y1,2=dfrac4±16−a2a2y_{1,2}=\\dfrac{4\pm\sqrt{16-a^{2}}}{a^{2}}; inegalitatea se satisface pentru 0<yley10<y\\le y_1 sau ygey2y\\ge y_2, dar reamintim condiția suplimentară y<1/8y<1/8. Astfel pentru 0<a<10<a<1 soluția se obșine din intersecția cu y<1/8y<1/8 si se transpună inapoi: x=−log⁡ayx=-\log_a y. Concluzie: solutia se exprimă parametrizată astfel: pentru a>1a>1 avem xx cu a−x∈(0,min(y2,1/8))a^{-x}\in(0,\\min(y_2,1/8)), iar pentru 0<a<10<a<1 avem xx cu a−xa^{-x} din intervalele determinate mai sus (unde y1,2y_{1,2} sunt ca mai sus). (Se precizează că a≤0a\le 0 sau a=1a=1 nu sunt admise ca baze ale logaritmului.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.