MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Găsiți al șaselea termen al unei progresii geometrice infinit descrescătoare a cărei sumă este egală cu 44 și suma cuburilor termenilor este egală cu 64/764/7.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Notăm primul termen cu aa și rația cu rr; din suma infinită S=a1−r=4S=\frac{a}{1-r}=4 rezultă a=4(1−r)a=4(1-r).
24 puncte
Scriem suma cuburilor ca sumă infinită a unei progresii geometrice cu primul termen a3a^3 și rația r3r^3, deci a31−r3=64/7\dfrac{a^3}{1-r^3}=64/7, înlocuim aa și obținem (1−r)31−r3=1/7\dfrac{(1-r)^3}{1-r^3}=1/7, care conduce la ecuația 2r2−5r+2=02r^2-5r+2=0.
34 puncte
Rezolvăm 2r2−5r+2=02r^2-5r+2=0; soluțiile sunt r=2r=2 și r=1/2r=1/2, alegem r=1/2r=1/2 (deoarece ∣r∣<1|r|<1) și a=4(1−1/2)=2a=4(1-1/2)=2. Al șaselea termen este ar5=2⋅(1/2)5=1/16a r^{5}=2\cdot(1/2)^5=1/16.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.