MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
{y−x=14cos⁡(πx)⋅cos⁡(πy)=22\begin{cases} y - x = \dfrac{1}{4} \\ \cos(\pi x)\cdot\cos(\pi y)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Din prima ecuație scriem y=x+14y=x+\dfrac{1}{4}. Substituim în a doua ecuație pentru a obține o ecuație în xx. \
25 puncte
Notăm A=πxA=\pi x. Atunci cos⁡(πx)cos⁡(πy)=cos⁡Acos⁡(A+π4)\cos(\pi x)\cos(\pi y)=\cos A\cos\bigl(A+\tfrac{\pi}{4}\bigr). Folosim identitatea cos⁡acos⁡b=12(cos⁡(a−b)+cos⁡(a+b))\cos a\cos b=\dfrac{1}{2}\bigl(\cos(a-b)+\cos(a+b)\bigr) pentru a obține [\dfrac{1}{2}\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr)+\cos\bigl(2A+\tfrac{\pi}{4}\bigr)\Bigr)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.] Se obține echivalent [\cos\bigl(2A+\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.] \
33 puncte
Rezolvăm cos⁡θ=22\cos\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}: θ=±π4+2kπ\theta=\pm\dfrac{\pi}{4}+2k\pi. Astfel 2A+π4=±π4+2kπ2A+\dfrac{\pi}{4}=\pm\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, deci A=kπA=k\pi sau A=−π4+kπA=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi. Revenind la x,yx,y: x=kx=k sau x=−14+kx=-\dfrac{1}{4}+k, iar y=x+14y=x+\dfrac{1}{4}, deci mulțimea soluțiilor este [ (x,y)=\bigl(n,,n+\tfrac{1}{4}\bigr)\ \text{și}\ \bigl(n-\tfrac{1}{4},,n\bigr),\quad n\in\mathbb{Z}.]

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.