MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmi
log⁡2+log⁡(4x−2+9)=1+log⁡(2x−2+1)\log 2 + \log\bigl(4^{x-2}+9\bigr)=1+\log\bigl(2^{x-2}+1\bigr)

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se folosesc proprietăţile logaritmilor (baza 10): log⁡2+log⁡(4x−2+9)=log⁡(2(4x−2+9))\log2+\log(4^{x-2}+9)=\log\bigl(2(4^{x-2}+9)\bigr). Se impun condiţiile de existenţă: argumentele logaritmice strict pozitive.
23 puncte
Se mută termenii: log⁡(2(4x−2+9))−log⁡(2x−2+1)=1\log\bigl(2(4^{x-2}+9)\bigr)-\log(2^{x-2}+1)=1. Se aplică diferenţa: log⁡2(4x−2+9)2x−2+1=1\log\dfrac{2(4^{x-2}+9)}{2^{x-2}+1}=1, deci fracţia este egală cu 101=1010^1=10.
33 puncte
Se notează t=2x−2>0t=2^{x-2}>0, iar 4x−2=t24^{x-2}=t^2. Se obţine ecuaţia raţională 2(t2+9)t+1=10\dfrac{2(t^2+9)}{t+1}=10. Se rezolvă: 2t2+18=10t+10⇒2t2−10t+8=0⇒t2−5t+4=02t^2+18=10t+10\Rightarrow 2t^2-10t+8=0\Rightarrow t^2-5t+4=0.
42 puncte
Se rezolvă: t=1t=1 sau t=4t=4. Din 2x−2=t2^{x-2}=t rezultă pentru t=1t=1 valoarea x=2x=2, pentru t=4t=4 valoarea x=4x=4. Se verifică condiţiile iniţiale; soluţii finale: x=2x=2 şi x=4x=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.