MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații: {sin⁡2(−2x)−(3−2)tan⁡(5y)=32−12tan⁡2(5y)+(3−2)sin⁡(−2x)=32−12\begin{cases}\sin^2(-2x)-(3-\sqrt{2})\tan(5y)=\tfrac{3\sqrt{2}-1}{2}\\\tan^2(5y)+(3-\sqrt{2})\sin(-2x)=\tfrac{3\sqrt{2}-1}{2}\end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Notăm u=sin⁡(−2x)u=\sin(-2x) și v=tan⁡(5y)v=\tan(5y) și a=3−2a=3-\sqrt{2}, C=32−12C=\tfrac{3\sqrt{2}-1}{2}. Sistemul devine u2−av=Cu^2-a v=C și v2+au=Cv^2+a u=C. Scăzând cele două ecuații se obține (u+v)(u−v−a)=0(u+v)(u-v-a)=0.
25 puncte
Cazul u+v=0u+v=0: v=−uv=-u. Înlocuind în prima ecuație rezultă u2+au−C=0u^2+a u-C=0. Calculele dau discriminantul egal cu 99, deci soluțiile pentru uu sunt u=−a±32u=\tfrac{-a\pm3}{2}. Singura soluție din intervalul admis pentru sinus este u=22u=\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Astfel sin⁡(−2x)=22\sin(-2x)=\tfrac{\sqrt{2}}{2} și tan⁡(5y)=−22\tan(5y)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
33 puncte
Cazul u−v−a=0u-v-a=0 nu dă soluții reale (discriminant negativ). Concluzie: sin⁡(−2x)=22⇒x=−π8+kπ  sau  x=5π8+kπ, k∈Z,\sin(-2x)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=-\tfrac{\pi}{8}+k\pi\ \text{ sau }\ x=\tfrac{5\pi}{8}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}, tan⁡(5y)=−22⇒y=−arctan⁡ ⁣(22)+ℓπ5, ℓ∈Z.\tan(5y)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{-\arctan\!\left(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+\ell\pi}{5},\ \ell\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.