MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați în intervalul [0,3π2][0,\tfrac{3\pi}{2}] sistemul: cos⁡3x−sin⁡3x=cos⁡2x\cos^3 x-\sin^3 x=\cos 2x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm identitatea a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) şi scriem cos⁡3x−sin⁡3x=(cos⁡x−sin⁡x)(1+cos⁡xsin⁡x)\cos^3 x-\sin^3 x=(\cos x-\sin x)(1+\cos x\sin x), iar cos⁡2x=(cos⁡x−sin⁡x)(cos⁡x+sin⁡x)\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x).
24 puncte
Egalând obținem (cos⁡x−sin⁡x)(1+cos⁡xsin⁡x−(cos⁡x+sin⁡x))=0(\cos x-\sin x)\bigl(1+\cos x\sin x-(\cos x+\sin x)\bigr)=0, deci fie cos⁡x=sin⁡x\cos x=\sin x (adică x=π4+kπx=\tfrac{\pi}{4}+k\pi), fie cos⁡x+sin⁡x=1\cos x+\sin x=1 (echivalent cu sin⁡(x+π4)=12\sin(x+\tfrac{\pi}{4})=\tfrac{1}{\sqrt2}, deci x=0+2kπx=0+2k\pi sau x=π2+2kπx=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi).
33 puncte
Intersectăm cu intervalul [0,3π2][0,\tfrac{3\pi}{2}] şi obținem soluțiile x=0, π4, π2, 5π4x=0,\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{5\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.