MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Verificați identitatea cos⁡20∘+2 sin⁡255∘=1+2 sin⁡65∘\cos20^\circ+2\,\sin^2 55^\circ=1+\sqrt{2}\,\sin65^\circ.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea 2sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x=1-\cos2x cu x=55∘x=55^\circ pentru a transforma termenul 2sin⁡255∘2\sin^2 55^\circ în 1−cos⁡110∘1-\cos110^\circ.
24 puncte
Observați că −cos⁡110∘=cos⁡70∘-\cos110^\circ=\cos70^\circ, deci expresia stângă devine 1+cos⁡20∘+cos⁡70∘1+\cos20^\circ+\cos70^\circ. Aplicați suma de cosinusuri: cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2\cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2} pentru A=20∘A=20^\circ, B=70∘B=70^\circ şi obțineţi cos⁡20∘+cos⁡70∘=2 cos⁡25∘\cos20^\circ+\cos70^\circ=\sqrt{2}\,\cos25^\circ.
33 puncte
Observaţi că cos⁡25∘=sin⁡65∘\cos25^\circ=\sin65^\circ, deci expresia devine 1+2 sin⁡65∘1+\sqrt{2}\,\sin65^\circ, ceea ce confirmă identitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.