MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceProgresii Aritmetice
Găsiți suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare a cărei al doilea termen, numărul egal cu dublul produsului primului termen cu al patrulea și al treilea termen formează, în această ordine, o progresie aritmetică cu diferența comună 13\tfrac{1}{3}. (Se notează termenii progresiei geometrice prin a,ar,ar2,ar3,…a, ar, ar^2, ar^3,\dots.)

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notați termenii ca a,ar,ar2,ar3a, ar, ar^2, ar^3. Condiția spune că tripletul (ar,  2⋅(a⋅ar3),  ar2)(ar,\;2\cdot(a\cdot ar^3),\;ar^2) este o progresie aritmetică cu diferența 13\tfrac{1}{3}. Deci 2a2r3−ar=132a^2r^3 - ar = \tfrac{1}{3} și ar2−2a2r3=13ar^2 - 2a^2r^3 = \tfrac{1}{3}.
24 puncte
Din cele două ecuații se obșine sistemul echivalent: ar2=ar+23ar^2 = ar + \tfrac{2}{3} și 2a2r3=ar+132a^2r^3 = ar + \tfrac{1}{3}. Din prima ecuație rezulta a=23r(r−1)a=\dfrac{2}{3r(r-1)} iar expresia ar=23(r−1)ar=\dfrac{2}{3(r-1)}.
33 puncte
Înlocuind în a doua ecuație se obșine ecuația pentru rr: 3r2−8r−3=03r^2-8r-3=0, care are soluții r=3r=3 și r=−13r=-\tfrac{1}{3}. Se alege r=−13r=-\tfrac{1}{3} pentru ∣r∣<1|r|<1. Atunci a=32a=\dfrac{3}{2}, iar suma seriei infinite este a1−r=3/21+1/3=98\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3/2}{1+1/3}=\dfrac{9}{8}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.