MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
{4sin⁡y−62cos⁡x=5+4cos⁡2ycos⁡2x=0\begin{cases} 4\sin y-6\sqrt{2}\cos x=5+4\cos^{2}y\\ \cos2x=0 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din a doua ecuaţie cos⁡2x=0⇒cos⁡2x=12\cos2x=0\Rightarrow\cos^{2}x=\dfrac12, deci cos⁡x=±22\cos x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2} şi x=π4+nπ2x=\dfrac{\pi}{4}+n\dfrac{\pi}{2}, n∈Zn\in\mathbb{Z}.\
25 puncte
Scriem prima ecuaţie sub forma în funcţie de s=sin⁡ys=\sin y: folosind cos⁡2y=1−s2\cos^{2}y=1-s^{2} obţinem 4s−62cos⁡x=5+4(1−s2)⇒4s2+4s−9−62cos⁡x=0.4s-6\sqrt{2}\cos x=5+4(1-s^{2})\Rightarrow 4s^{2}+4s-9-6\sqrt{2}\cos x=0. Dacă cos⁡x=+22\cos x=+\dfrac{\sqrt{2}}{2} atunci obţinem 4s2+4s−15=04s^{2}+4s-15=0 care nu are soluţii reale în [−1,1][-1,1]. Dacă cos⁡x=−22\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} atunci obţinem 4s2+4s−3=04s^{2}+4s-3=0, cu soluţia admisibilă s=12s=\dfrac{1}{2}.\
32 puncte
Concluzie: pentru cos⁡x=−22\cos x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2} (adică x=3π4+2kπx=\dfrac{3\pi}{4}+2k\pi sau x=5π4+2kπx=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi) avem sin⁡y=12\sin y=\dfrac{1}{2}, deci y=π6+2mπory=5π6+2mπ,k,m∈Z.y=\dfrac{\pi}{6}+2m\pi\quad\text{or}\quad y=\dfrac{5\pi}{6}+2m\pi,\quad k,m\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.