GreuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

GreuEcuații logaritmiceTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Găsiți toate rădăcinile ecuației sin⁡xtan⁡2x+3 (sin⁡x−3tan⁡2x)=3\sin x\tan 2x + \sqrt{3}\, (\sin x - \sqrt{3}\tan 2x) = \sqrt{3} care satisfac inegalitatea 2+log⁡1/2x≤02 + \log_{1/2} x \le 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Domeniul: pentru log⁡1/2x\log_{1/2}x avem x>0x>0; din inegalitate 2+log⁡1/2x≤02+\log_{1/2}x\le0 rezultă log⁡1/2x≤−2\log_{1/2}x\le-2, iar deoarece baza 12∈(0,1)\tfrac12\in(0,1) funcția logaritm scade, obţinem x≥4x\ge4. Deci căutăm soluții cu x∈[4,∞)x\in[4,\infty).
23 puncte
Rescrieți ecuația: sin⁡xtan⁡2x+3sin⁡x−3tan⁡2x=3\sin x\tan 2x + \sqrt{3}\sin x -3\tan 2x=\sqrt{3}. Grupând termenii cu tan⁡2x\tan 2x se obține (sin⁡x−3)tan⁡2x=3(1−sin⁡x)(\sin x-3)\tan 2x=\sqrt{3}(1-\sin x).
34 puncte
Analiza cazurilor: (a) Dacă sin⁡x=1\sin x=1 atunci ecuația inițială devine −2tan⁡2x=0-2\tan 2x=0, deci tan⁡2x=0\tan 2x=0, ceea ce este adevărat pentru x=π2+2kπx=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi. Din condiția x≥4x\ge4 reținăm valorile cu π2+2kπ≥4\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\ge4. (b) Dacă sin⁡x≠1\sin x\ne1 se poate scrie tan⁡2x=−31−sin⁡x3−sin⁡x\tan 2x=-\sqrt{3}\dfrac{1-\sin x}{3-\sin x}. Orice soluție trebuie să satisfacă această relație și x≥4x\ge4, precum și cos⁡2x≠0\cos 2x\ne0 (pentru definiția lui tan⁡2x\tan 2x). step 4, 0 puncte (observație): Ecuația rezultantă este transcedentală; soluțiile explicite finite se obțin numeric. Concluzie: mulțimea soluțiilor este reuniunea soluțiilor explicite {x=π2+2kπ∣k∈Z,  π2+2kπ≥4}\{x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\mid k\in\mathbb{Z},\;\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\ge4\} și a tuturor valorilor x≥4x\ge4 (cu cos⁡2x≠0\cos 2x\ne0) care satisfac tan⁡2x=−31−sin⁡x3−sin⁡x\tan 2x=-\sqrt{3}\dfrac{1-\sin x}{3-\sin x} (această ecuație se rezolvă numeric).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.