MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Simplificați expresia cos⁡(2α−π/2)+sin⁡(3π−4α)−cos⁡(5π/2+6α)4sin⁡(5π−3α)cos⁡(α−2π)\displaystyle \frac{\cos(2\alpha-\pi/2)+\sin(3\pi-4\alpha)-\cos(5\pi/2+6\alpha)}{4\sin(5\pi-3\alpha)\cos(\alpha-2\pi)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Reduceți argu­mentele trigonometrice: cos⁡(2α−π/2)=sin⁡2α\cos(2\alpha-\pi/2)=\sin2\alpha, sin⁡(3π−4α)=sin⁡4α\sin(3\pi-4\alpha)=\sin4\alpha, cos⁡(5π/2+6α)=−sin⁡6α\cos(5\pi/2+6\alpha)=-\sin6\alpha, sin⁡(5π−3α)=sin⁡3α\sin(5\pi-3\alpha)=\sin3\alpha, cos⁡(α−2π)=cos⁡α\cos(\alpha-2\pi)=\cos\alpha, obținând sin⁡2α+sin⁡4α+sin⁡6α4sin⁡3αcos⁡α\displaystyle \frac{\sin2\alpha+\sin4\alpha+\sin6\alpha}{4\sin3\alpha\cos\alpha}.
23 puncte
Folosiți formula sumei: sin⁡6α+sin⁡2α=2sin⁡4αcos⁡2α\sin6\alpha+\sin2\alpha=2\sin4\alpha\cos2\alpha, deci numărătorul devine sin⁡4α(1+2cos⁡2α)\sin4\alpha(1+2\cos2\alpha).
34 puncte
Observați că sin⁡4α=4sin⁡αcos⁡αcos⁡2α\sin4\alpha=4\sin\alpha\cos\alpha\cos2\alpha și sin⁡3α=sin⁡α(4cos⁡2α−1)\sin3\alpha=\sin\alpha(4\cos^2\alpha-1), iar 1+2cos⁡2α=4cos⁡2α−11+2\cos2\alpha=4\cos^2\alpha-1, anulați factorii comuni și obțineți cos⁡2α\displaystyle \cos2\alpha.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.