MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Suma a trei numere care formează o progresie geometrică este 1313, iar suma pătratelor lor este 9191. Găsiți numerele.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm termenii a,ar,ar2a,ar,ar^2. Avem a(1+r+r2)=13a(1+r+r^2)=13 și a2(1+r2+r4)=91a^2(1+r^2+r^4)=91.
24 puncte
Ridicăm la pătrat prima ecuație: a2(1+r+r2)2=169a^2(1+r+r^2)^2=169. Împărţind a doua ecuaţie la aceasta obţinem 1+r2+r4(1+r+r2)2=91169=713\dfrac{1+r^2+r^4}{(1+r+r^2)^2}=\dfrac{91}{169}=\dfrac{7}{13}. Rezolvând relaţia rezultă valorile rezonabile ale raţiei r=3r=3 sau r=1/3r=1/3.
33 puncte
Pentru r=3r=3 avem a(1+3+9)=13⇒a=1a(1+3+9)=13\Rightarrow a=1 și termenii 1,3,91,3,9. Pentru r=1/3r=1/3 avem a(1+1/3+1/9)=13⇒a=9a(1+1/3+1/9)=13\Rightarrow a=9 și termenii 9,3,19,3,1. Ambele triplete satisfac condițiile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.