MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieEcuații iraționaleFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația 13−18tan⁡x=6tan⁡x−3.\sqrt{13 - 18\tan x} = 6\tan x - 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm t=tan⁡xt = \tan x. Condițiile devin 13−18t≥013 - 18t \ge 0 și 6t−3≥06t - 3 \ge 0, adică 12≤t≤1318\tfrac{1}{2} \le t \le \tfrac{13}{18}. Ecuația se rescrie 13−18t=6t−3.\sqrt{13 - 18t} = 6t - 3.\n
23 puncte
Ridicăm la pătrat: 13−18t=(6t−3)2=36t2−36t+9.13 - 18t = (6t - 3)^2 = 36t^2 - 36t + 9. Obținem ecuația 36t2−18t−4=0,36t^2 - 18t - 4 = 0, echivalentă cu 18t2−9t−2=0.18t^2 - 9t - 2 = 0. Discriminantul este Δ=225=152\Delta = 225 = 15^2, deci t1,2=9±1536=23, −16.t_{1,2} = \frac{9 \pm 15}{36} = \frac{2}{3},\ -\frac{1}{6}.\n
34 puncte
Din intervalul admis reținem doar t=23t = \tfrac{2}{3}. Revine tan⁡x=23\tan x = \tfrac{2}{3}, deci soluțiile sunt x=arctan⁡23+kπ,  k∈Z.x = \arctan \frac{2}{3} + k\pi,\; k \in \mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.