MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: (sin⁡2x+3 cos⁡2x)2−5=cos⁡(π/6−2x)(\sin 2x + \sqrt{3}\,\cos 2x)^2 - 5 = \cos\bigl(\pi/6 - 2x\bigr).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observați că sin⁡2x+3cos⁡2x=2sin⁡(2x+π/3)\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=2\sin\bigl(2x+\pi/3\bigr), deci stânga este 4sin⁡2(2x+π/3)−54\sin^2\bigl(2x+\pi/3\bigr)-5.
24 puncte
Domeniul stângii este [−5,−1][ -5, -1]? Mai bine observăm intervalele: A2=(sin⁡2x+3cos⁡2x)2∈[0,4]A^2=(\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x)^2\in[0,4] iar dreapta cos⁡(π/6−2x)+5∈[4,6]\cos(\pi/6-2x)+5\in[4,6]. Singura posibilitate de intersecție este A2=4A^2=4 şi cos⁡(π/6−2x)=−1\cos(\pi/6-2x)=-1.
33 puncte
Din A2=4A^2=4 avem sin⁡(2x+π/3)=±1\sin\bigl(2x+\pi/3\bigr)=\pm1, iar din cos⁡(π/6−2x)=−1\cos(\pi/6-2x)=-1 rezultă condiţia compatibilă care dă soluțiile finale x=7π/12+kπx=7\pi/12+k\pi, cu k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.