MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
{cos⁡(x−y)=12cos⁡(x+y)=−12\begin{cases} \cos(x-y)=\dfrac{1}{2} \\ \cos(x+y)=-\dfrac{1}{2} \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Introducem variabilele u=x−yu=x-y și v=x+yv=x+y. Sistemul devine cos⁡u=12, cos⁡v=−12\cos u=\dfrac{1}{2},\ \cos v=-\dfrac{1}{2}, iar apoi revenim la x=u+v2, y=v−u2x=\dfrac{u+v}{2},\ y=\dfrac{v-u}{2}. \
24 puncte
Scriem soluțiile generale pentru uu și vv: [u=2k\pi\pm\dfrac{\pi}{3},\qquad v=2m\pi\pm\dfrac{2\pi}{3},\quad k,m\in\mathbb{Z}.] \
34 puncte
Obținem soluțiile pentru (x,y)(x,y) prin x=u+v2, y=v−u2x=\dfrac{u+v}{2},\ y=\dfrac{v-u}{2}. Astfel, pentru orice k,m∈Zk,m\in\mathbb{Z} și alegerea semnelor independente, [x=\dfrac{2(k+m)\pi\pm\dfrac{\pi}{3}\pm\dfrac{2\pi}{3}}{2},\quad y=\dfrac{2(m-k)\pi\pm\dfrac{2\pi}{3}\mp\dfrac{\pi}{3}}{2},] unde semnele se iau corespunzător alegerilor pentru uu și vv. Aceasta definește familia completă de soluții periodice.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.