MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Rezolvați sistemul de ecuații în xx și yy (parametru aa): cos⁡x+cos⁡y=a,  x+y=π4\cos x + \cos y = a,\; x+y=\tfrac{\pi}{4}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiţi formula sumei cosinusurilor: cos⁡x+cos⁡y=2cos⁡x+y2cos⁡x−y2\cos x+\cos y=2\cos\tfrac{x+y}{2}\cos\tfrac{x-y}{2} şi înlocuiţi x+y=π4x+y=\tfrac{\pi}{4} pentru a obţine 2cos⁡π8cos⁡x−y2=a2\cos\tfrac{\pi}{8}\cos\tfrac{x-y}{2}=a. ;
24 puncte
Din relaţia anterioară obţineţi cos⁡x−y2=a2cos⁡π8\cos\tfrac{x-y}{2}=\dfrac{a}{2\cos\tfrac{\pi}{8}} şi discutaţi condiţia de existenţă ∣a2cos⁡π8∣≤1\Bigl|\dfrac{a}{2\cos\tfrac{\pi}{8}}\Bigr|\le 1, adică ∣a∣≤2cos⁡π8|a|\le 2\cos\tfrac{\pi}{8}. ;
33 puncte
Scrieţi soluţiile generale pentru x−yx-y: x−y2=±arccos⁡ ⁣(a2cos⁡π8)+2kπ\tfrac{x-y}{2}=\pm\arccos\!\bigl(\dfrac{a}{2\cos\tfrac{\pi}{8}}\bigr)+2k\pi, apoi determinaţi xx şi yy prin rezolvarea sistemului liniar pentru fiecare k∈Zk\in\mathbb{Z} şi precizaţi condiţia asupra lui aa pentru care există soluţii reale.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.