MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
Găsiți toate soluțiile sistemului de ecuații care satisfac condiția ∣y∣≤1|y|\le 1: {sin⁡(2x+3y)+cos⁡(2x+3y)=1cos⁡(x+π+1812y)+3sin⁡(x+π+1812y)=2\begin{cases}\sin(2x+3y)+\cos(2x+3y)=1\\\cos\Bigl(x+\tfrac{\pi+18}{12}y\Bigr)+\sqrt{3}\sin\Bigl(x+\tfrac{\pi+18}{12}y\Bigr)=2\end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm t=2x+3yt=2x+3y și s=x+π+1812ys=x+\tfrac{\pi+18}{12}y. Prima ecuație echivalează cu sin⁡t+cos⁡t=1  ⟺  t=2kπ sau t=π2+2kπ\sin t+\cos t=1\iff t=2k\pi\text{ sau }t=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi. A doua ecuație se scrie 2sin⁡(s+π6)=2⇒s=π3+2mπ2\sin\left(s+\tfrac{\pi}{6}\right)=2\Rightarrow s=\tfrac{\pi}{3}+2m\pi.
24 puncte
Înlocuim ss în expresia pentru tt folosind x=s−π+1812yx=s-\tfrac{\pi+18}{12}y și rezolvăm pentru yy. Pentru cazul t=2kπt=2k\pi rezultă y=24m−12k+4y=24m-12k+4, care nu poate satisface ∣y∣≤1|y|\le1. Pentru cazul t=π2+2kπt=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi rezultă y=24m−12k+1y=24m-12k+1, singura valoare cuprinsă în [−1,1][-1,1] fiind y=1y=1, obținută la k=2mk=2m.
33 puncte
Pentru y=1y=1 avem x=π3−π+1812⋅1+2mπ=π−64+2mπx=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi+18}{12}\cdot 1+2m\pi=\dfrac{\pi-6}{4}+2m\pi, m∈Zm\in\mathbb{Z}. Concluzie: soluțiile sunt y=1,x=π−64+2mπ, m∈Z.y=1,\quad x=\dfrac{\pi-6}{4}+2m\pi,\ m\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.