MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Arătați că cot⁡α+cot⁡(270∘+α)cot⁡α−cot⁡(270∘+α)−2cos⁡(135∘+α)cos⁡(315∘−α)=2cos⁡2α\dfrac{\cot\alpha+\cot(270^{\circ}+\alpha)}{\cot\alpha-\cot(270^{\circ}+\alpha)}-2\cos(135^{\circ}+\alpha)\cos(315^{\circ}-\alpha)=2\cos2\alpha.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observaţi că cot⁡(270∘+α)=cot⁡(90∘+α)=−tan⁡α\cot(270^{\circ}+\alpha)=\cot(90^{\circ}+\alpha)=-\tan\alpha, deci primul raport devine cot⁡α−tan⁡αcot⁡α+tan⁡α\dfrac{\cot\alpha-\tan\alpha}{\cot\alpha+\tan\alpha};
24 puncte
Scriind în funcţie de sin⁡α,cos⁡α\sin\alpha,\cos\alpha obţinem cos⁡2α−sin⁡2αsin⁡αcos⁡αcos⁡2α+sin⁡2αsin⁡αcos⁡α=cos⁡2α\dfrac{\dfrac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}{\dfrac{\cos^2\alpha+\sin^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}}=\cos2\alpha;
33 puncte
Calculaţi 2cos⁡(135∘+α)cos⁡(315∘−α)=2⋅(−22(cos⁡α+sin⁡α))⋅(22(cos⁡α−sin⁡α))=−cos⁡2α2\cos(135^{\circ}+\alpha)\cos(315^{\circ}-\alpha)=2\cdot\big(-\tfrac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha+\sin\alpha)\big)\cdot\big(\tfrac{\sqrt2}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)\big)=-\cos2\alpha şi, combinând, obţineţi cos⁡2α−(−cos⁡2α)=2cos⁡2α\cos2\alpha-(-\cos2\alpha)=2\cos2\alpha.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.