MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați inegalitatea 2log⁡1/2(x−1)≤13−1log⁡x2−x8.2\log_{1/2}(x-1) \le \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{\log_{x^2 - x} 8}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Domeniul: x−1>0x-1>0 si baza x2−x>0x^2-x>0, deci x>1x>1 (de asemenea excludeți valorile pentru care x2−x=1x^2-x=1, adică x=1±52x=\tfrac{1\pm\sqrt5}{2}). Pentru soluția finală ne vom intersecta cu x>1x>1.
22 puncte
Transformări: log⁡1/2(x−1)=−log⁡2(x−1)\log_{1/2}(x-1)= -\log_2(x-1) si 1log⁡x2−x8=log⁡8(x2−x)=(1/3)log⁡2(x2−x)\dfrac{1}{\log_{x^2-x}8}=\log_8(x^2-x)=(1/3)\log_2(x^2-x). Prin urmare inegalitatea devine −2log⁡2(x−1)le13−13log⁡2(x2−x)-2\log_2(x-1) \\le \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3}\log_2(x^2-x).
33 puncte
Multiplicăm cu 3 si adunăm termeni: −6log⁡2(x−1)+log⁡2(x2−x)le1-6\log_2(x-1) + \log_2(x^2-x) \\le 1. Combinăm logaritmii: log⁡2x2−x(x−1)6le1\log_2\dfrac{x^2-x}{(x-1)^6} \\le 1. Deoarece baza 2>1, rezultă x2−x(x−1)6le2\dfrac{x^2-x}{(x-1)^6} \\le 2.
43 puncte
Pentru x>1x>1 avem x2−x=x(x−1)x^2-x = x(x-1) si putem scrie xle2(x−1)5x \\le 2(x-1)^5. Notăm y=x−1>0y=x-1>0, obșinem 2y5−y−1ge02y^5 - y -1 \\ge 0. Factorizăm: 2y5−y−1=(y−1)(2y4+2y3+2y2+2y+1)2y^5 - y -1 = (y-1)(2y^4+2y^3+2y^2+2y+1); pentru y>0y>0 factorul al doilea este pozitiv, deci inegalitatea echivalează cu yge1y\\ge 1. Astfel x−1ge1⇒xge2x-1 \\ge 1 \Rightarrow x \\ge 2. Verifică finală: pentru xge2x\\ge 2 baza x2−x≠1x^2-x\neq 1, iar toate expresiile sunt definite, deci solutia finală este x∈[2,∞)x\in[2,\infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.