MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateEcuații exponentialeLogaritmi
Rezolvați inegalitatea f′(x)>g′(x)f'(x) > g'(x) dacă f(x)=52x+1/2f(x) = 5^{2x + 1/2} și g(x)=5x+4xln⁡5g(x) = 5^x + 4x \ln 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
14 puncte
Calculați derivatele: f′(x)=2ln⁡5⋅52x+1/2f'(x)=2\ln 5\cdot 5^{2x+1/2} și g′(x)=ln⁡5⋅5x+4ln⁡5g'(x)=\ln 5\cdot 5^x +4\ln 5. Împărțiți inegalitatea prin ln⁡5>0\ln 5>0 pentru a obține 2⋅51/2 52x>5x+42\cdot 5^{1/2}\,5^{2x} > 5^x + 4.
26 puncte
Puneți y=5x>0y=5^x>0 și obțineți inegalitatea quadratică 25 y2−y−4>02\sqrt{5}\,y^2 - y - 4 > 0. Calculați rădăcinile: y=1±1+32545y=\dfrac{1\pm\sqrt{1+32\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}}. Prima rădăcină este negativă, deci pentru y>0y>0 soluția este y>1+1+32545y>\dfrac{1+\sqrt{1+32\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}}. Revenind la xx, avem x>log⁡5(1+1+32545)x>\log_5\left(\dfrac{1+\sqrt{1+32\sqrt{5}}}{4\sqrt{5}}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.