MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Rezolvați ecuația: cos⁡23x+sin⁡2(π2+5x)=cos⁡27x+cos⁡29x+cos⁡(3π2).\cos^{2}3x + \sin^{2}\left(\frac{\pi}{2} + 5x\right) = \cos^{2}7x + \cos^{2}9x + \cos\left(\tfrac{3\pi}{2}\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Observaţi că sin⁡(π2+5x)=cos⁡5x\sin\left(\tfrac{\pi}{2}+5x\right)=\cos5x şi cos⁡(3π2)=0\cos\left(\tfrac{3\pi}{2}\right)=0, astfel ecuaţia devine cos⁡23x+cos⁡25x=cos⁡27x+cos⁡29x\cos^{2}3x+\cos^{2}5x=\cos^{2}7x+\cos^{2}9x.
25 puncte
Folosiţi identitatea cos⁡2u−cos⁡2v=−sin⁡(u+v)sin⁡(u−v)\cos^{2}u-\cos^{2}v=-\sin(u+v)\sin(u-v) pentru a transforma diferenţele; după simplificări obţineţi factorul comun sin⁡4x⋅(sin⁡10x+sin⁡14x)=0\sin4x\cdot(\sin10x+\sin14x)=0, apoi folosiţi formule suma-produs pentru a ajunge la 2sin⁡4xsin⁡12xcos⁡2x=02\sin4x\sin12x\cos2x=0.
33 puncte
Scrieţi soluţiile factorilor: sin⁡4x=0⇒x=kπ4\sin4x=0\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{4}, sin⁡12x=0⇒x=kπ12\sin12x=0\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{12}, cos⁡2x=0⇒x=π4+kπ2\cos2x=0\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Concluzie: reuniunea acestor familii dă mulţimea soluţiilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.